Неевклидова геометрия Лобачевского: отличия от евклидовой

социальный Проект

Неевклидова геометрия

Открытие Неевклидовой геометрии российским ученым Николаем Лобачевским в 1829 году стало революционным событием в мировой математике, полностью изменившим привычное представление человечества о геометрии и пространстве.

Ранее считалось, что Евклидова геометрия — это единственно возможная наука, которая описывает свойства пространства. Лобачевский доказал, что геометрию можно рассмотреть через призму сферического объема, а не плоскости, на которой работал Евклид.

Открытие гениального русского ученого Лобачевского сыграло важнейшую роль в развитии мировой науки. Именно на неевклидовой геометрии пространства-времени базируется Теория относительности Альберта Эйнштейна. Кроме того, открытие Лобачевского нашло свое применение в геодезии, космологии, теории управления, криптографии и других областях.

Открытие неевклидовой геометрии Николаем Лобачевским многократно углубило понимание пространства, значительно ускорило мировой научно-технический прогресс и дало толчок к развитию целого ряда научных дисциплин по всему миру.

Геометрия Евклида простыми словами

Построение гороциклических координат
Построение гороциклических координат. Фото: Phiduswikimedia.org

Евклидова, или элементарная, геометрия впервые была изложена еще в 300 году до н.э. Евклидом Александрийским в трактате, который он сам и назвал “Начала”. Стоит сразу упомянуть тот факт, что открытия ученого значительно влияли на дальнейшее развитие науки вплоть до XIX века.

В основе элементарной геометрии лежат пять постулатов:

  1. Любую точку можно связать с другой с помощью прямой линии.
  2. Ограниченная прямая может быть продолжена по прямой бесконечно.
  3. Любой центр может стать точкой, чтобы описать новый круг.
  4. Прямые углы всегда равны.
  5. Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух, прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы, меньшие двух прямых».

Несмотря на то, что геометрия Евклида являлась эталонной на протяжении большого количества веков, ее пятый постулат привлекал к себе пристальное внимание многих ученых с самого первого момента открытия. Они считали его неестественным и невыполнимым.

ИНТЕРЕСНЫЙ ФАКТ
Существует мнение, что и сам Евклид не раз хотел доказать пятый постулат. Известно, что его первые труды не содержали в себе пункта о двух прямых, что наталкивает исследователей на мысль, что Евклид оттягивал включение последнего постулата в свои “Начала”.

В поисках новой науки

Попытки создать отличную от теории Евклида геометрию предпринимались давно. Проблема заключалась в том, что никто из гениальных умов своего времени не мог доказать постулат о параллельных прямых.

Среди прославленных имен, кто работал над созданием новой науки, были Карл Гаусс и Янош Бояи. Однако первому преуспеть удалось талантливому отечественному ученому Николаю Лобачевскому. Именно он в 1829 году опубликовал свой научный трактат под названием “Начала геометрии”, где ему удалось найти альтернативу последнему постулату существовавшей до него геометрии.

Диаграмма неевклидовой геометрии
Диаграмма неевклидовой геометрии. Фото: wikimedia.org

Краткая биография Николая Лобачевского

Николаю Лобачевскому было всего 34 года, когда он смог решить проблему, которая волновала лучшие умы на протяжении десятков веков.

Его детская биография не отличается своей красочностью. Потеряв отца в 1779 году, его мать, оставшись без средств к существованию, была вынуждена отдать мальчика и еще двоих детей в Казанскую гимназию. Там и стало понятным, что впереди у Николая – большое будущее. Ему с легкостью давались точные науки.

Карьера Лобачевского развивалась стремительно: всего за несколько лет из простого адъюнкта он стал профессором, а позже и деканом физико-математического факультета Казанского университета.

Исследования в области геометрии вел на протяжении 20 лет. Его трактат “О началах геометрии”  не нашел отклика у зарубежных коллег. Однако он оказал значительное влияние на развитие науки в мире.

Несмотря на непонимания со стороны коллег, в 1842 году Лобачевский, по протекции своего коллеги-немца Карла Гаусса, стал членом-корреспондентом Геттингенского ученого общества.

Помимо открытия своей, отличной от Евклида, геометрии, Николай Лобачевский отметился и в других областях математики – алгебре, математическом анализе и теории вероятности.

Геометрия Лобачевского

При создании своей геометрии отечественный ученый использовал принцип “от противного”. Он взял за основу теорию, что прямых, которые не пересекают заданную, может быть не одна, а несколько.

ИНТЕРЕСНЫЙ ФАКТ
Геометрия Лобачевского – не единственная из неевклидовых. Так, Георг Риман также активно занимался над созданием новых учений. Согласно его выводам, прямая, находящаяся в одной плоскости с другой, пересекается с ней.

Четырехугольник Саккери
Четырехугольник Саккери. Фото: Phidus\wikimedia.org

Говоря простым языком, Николай Лобачевский смог опровергнуть пятый постулат науки Евклида. Для доказательства теории ученого можно использовать модель Пуанкаре для круга, где через точку, которая не лежит на прямой, можно провести множество непересекающихся отрезков.

Открытие Лобачевского имело огромное влияние на дальнейшее развитие мировой науки. Так, отечественный физик Александр Фридман на основании новой геометрии, вывел закономерность, что Вселенная имеет свойство к расширению с течением времени. Чуть позже, в середине XX века, другой наш соотечественник, физик Н. Черников с успехом внедрял открытия Лобачевского в собственные учения о столкновениях элементарных частиц в ускорителе. Используется неевклидова геометрия и в астрономии.

Находят свое применение открытия Лобачевского и в мире искусства. Так, в своих работах их применял художник-графист из Нидерландов Мауриц Корнелис Эшер, который прославился своими новаторскими работами. В них он использует различные математические понятия, среди которых значится и геометрия Лобачевского. Среди самых удачных попыток отразить открытия ученого на холсте стали такие работы, как “Картинная галерея” и гравюра “Относительность”, которые стали воплощением неевклидова пространства.

Популярные вопросы

Вопрос: В каком году была открыта неевклидова геометрия?

Ответ: Свой трактат, в котором описывались основы новой геометрии, Н. Лобачевский представил в 1829 году.

Вопрос: В чем отличие Евклидовой и неевклидовой геометрии?

Ответ: Обе геометрии строятся на постулатах, заложенных еще Евклидом. Отличия можно проследить в пятом пункте. Геометрия Лобачевского отрицает постулат Евклида.